El matemático Arthur Cayley, el hombre de los invariantes

Durante la vida del matemático inglés Arthur Cayley, del que esta semana se cumplen dos siglos de su nacimiento, ocurrieron muchos acontecimientos sociales sensibles. Se agudizan los problemas con Irlanda y las colonias al mismo tiempo que se radicaliza el movimiento obrero y sindical. A mismo tiempo, el desarrollo de la ciencia y la ingeniería es notable.

Carl Friedrich Gauss enuncia la teoría del error y el método de los mínimos cuadrados, Jean-Victor Poncelet (1788-1869) publica su obra que da inicio a la geometría proyectiva, Charles Faraday descubre la rotación electromagnética, fundamental para la tecnología eléctrica, Thomas Johan Seebeck inventa la pila termoeléctrica, Champollion (1790-1832) descifra los primeros jeroglíficos egipcios a partir de la llamada Piedra Roseta, encontrada en 1799 por las tropas de Napoleón en su expedición a Egipto. No puedo dejar de mencionar la locomotora de Stephenson, que se utiliza por primera vez para tirar de un tren de pasajeros en Inglaterra.

A 38 años de la muerte del gran Euler, Cayley nació en Richmond, Londres, un 16 de agosto de 1821. Ese año se inaugura la Universidad de Buenos Años y se logra la independencia de Costa Rica. Son contemporáneos al matemático Elizabeth Blackwell (1821-1910), primera mujer en recibir el titulo de médico en Estados Unidos, Charles Baudelaire (1821-1867), el poeta francés, el patriota argentino Bartolomé Mitre (1821-1909) y los escritores Fiodor Dostoievski (1821-1881) y Gustave Flaubert (1821-1880). Todas estas figuras del acontecer del siglo 19 acompañaron a Cayley en su vida.

Fue hijo de comerciantes, que habían vivido durante generaciones en Yorkshire, Inglaterra. Sin embargo, su padre se trasladó a Rusia. Así, los primeros ocho años de su infancia transcurrieron en San Petersburgo, donde entró en contacto con varios idiomas, en particular el ruso, el inglés y el francés.

Al regresar vivieron cerca de Londres. Arthur mostró pronto habilidad para el cálculo. Ya en 1835, en la King ‘s College School, con 14 años, estaba manifestando su vocación matemática. En 1838 ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde estudió matemáticas y derecho, graduándose en 1842.

Tuvo una beca en esta universidad, durante la cual publicó 29 trabajos en el recién creado Cambridge Mathematical Journal en 1847. Después estuvo 14 años trabajando de abogado, aunque siempre consideró esta profesión como un medio para ganar dinero y poder dedicar su tiempo libre a las matemáticas. Durante este periodo tuvo ocasión de ir a Dublín, para seguir el curso de Halmilton sobre los números cuaterniones. Fue amigo de Sylvester, otro matemático que se ganaba la vida de abogado (como él mismo Cayley y dos siglos antes Fermat). Durante estos 14 años publicaría 250 artículos de matemáticas.

Cayley y su amigo Sylvester ejercieron también su influencia en otros aspectos no menos relevantes, como por ejemplo ayudando a cambiar la mentalidad medieval de la Universidad de Cambridge en lo que se refiere a admitir como alumnas a las mujeres. Una de las primeras y más eminentes discípulas de Sylvester fue Florence Nightingale, quien años después destacaría por su aportación a las reformas hospitalarias y en la mejora de la atención médica en general.

En 1863, fue nombrado Sadleirian Professor of Pure Mathematics en la Universidad de Cambridge, donde permaneció durante el resto de sus días. En 1849, año de la creación de la Escuela de Artes y Oficios(EAO), antecesora de la Universidad de Santiago de Chile,  Cayley publicó un artículo relacionando sus ideas sobre permutaciones con las de Cauchy. In 1854, adelantándose a su tiempo, Cayley escribió dos memorables artículos que sugerían el concepto de grupo abstracto. En su época, los únicos grupos concretos conocidos eran los grupos de permutaciones que habían sido descritos recientemente.

Cayley dio una definición suficientemente general de grupo e ideó un método constructivo para describir la tabla de cualquier grupo en términos de permutaciones, lo que hoy se conoce como la representación regular o tabla de Cayley de un grupo. Se dio cuenta también que algunos conjuntos de matrices o de cuaternios formaban o como hoy día decimos tienen estructura de grupo.

Uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, Cayley publicó a lo largo de su vida más de novecientos artículos científicos. Considerado como uno de los padres del álgebra lineal, introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades. Con posterioridad empleó estos resultados para estudiar la geometría analítica de dimensión n. En 1859 concluyó que la geometría métrica se encontraba incluida en la proyectiva, noción que recogería Felix Klein en su estudio de las geometrías no euclídeas. Entre 1854 y 1878 escribió diversos artículos en los que desarrolló por vez primera la teoría de los invariantes. Un objeto se dice invariante respecto de o bajo una transformación si permanece inalterado tras la acción de tal transformación. El concepto de invariante es similar al de punto fijo.

El estilo matemático de Cayley refleja su formación legal ya que sus artículos son severos, directos, metódicos y claros. Poseía una memoria fenomenal y parecía nunca olvidar nada que hubiera visto o leído alguna vez. Tenía además un temperamento singularmente sereno, calmado y amable. Se le llamaba “el matemático de los matemáticos”.

Cayley desarrolló un interés poco común por la lectura de novelas. Las leía mientras viajaba, mientras esperaba que una junta comenzara y en cualquier momento que considerara oportuno. Durante su vida leyó miles de novelas, no sólo en inglés, sino también en griego, francés, alemán e italiano. Entre sus autores favoritos estaban Walter Scott (1771-1832), Jane Austen (1775-1817), Charles Dickens (1812-1870), George Grote (1794-1871) y Thomas Macaulay, con su obra «Historia de Inglaterra».

Agotado de la novelesca victoriana, exploró la literatura de otros países, aprovechando sus conocimiento del griego, italiano, francés y alemán. Esta habilidad del aprendizaje de otros idiomas era muy parecida a la de Leonhard Euler. Disfrutaba mucho pintar, en especial con acuarela, y mostraba un marcado talento como especialista de esta técnica. También era un estudiante apasionado de la botánica y la naturaleza en general.

El historiador y matemático Eric Temple Bell escribe: “Con su amor por la buena literatura, el viajar, la pintura y la arquitectura, así como una profunda comprensión de las bellezas naturales, tuvo más que suficiente para evitar que degenerara en el ‘matemático simple’ de la literatura convencional, escrita, en su mayor parte, por gente que puede haber conocido por supuesto algún pedante profesor de matemáticas, pero que nunca contempló en su vida un matemático real de carne y hueso».

Arthur Cayley, cuya aportación más importante a las matemáticas es la teoría de los invariantes algebraicos, es considerado como el tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo sólo superado por Euler y Cauchy, Ramanujan y mucho más tarde Poincaré. Hizo importantes contribuciones en la Teoría de curvas y superficies, en la geometría analítica, en la teoría de los determinantes y el desarrollo de la teoría de los invariantes.

Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad. Más de cincuenta términos y teoremas matemáticos llevan su nombre. Sólo mencionaré tres de sus aportes aportes.

Uno de los teoremas clásicos de un curso de álgebra lineal es el teorema de Cayley-Hamilton. En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.

El teorema de Cayley en teoría de Grupos nos dice que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomorfo a un subgrupo de permutaciones. El Teorema de Cayley es lo que llamamos un teorema de representaciones. El objetivo de la teoría de representaciones es encontrar un isomorfismo de algún grupo que queramos estudiar a un grupo sobre el que tengamos bastante información, tal como un grupo de permutaciones o de matrices.

En teoría de grafos, la fórmula de Cayley es un resultado llamado así en honor a Arthur Cayley, que establece que para cualquier entero positivo n, el número de árboles en n vértices etiquetados es n elevado a (n-2).

Equivalentemente, la fórmula cuenta el número de árboles de expansión de un grafo completo con vértices etiquetados.

Cayley fue un matemático más destacado de Gran Bretaña del siglo XIX. Algebraista, analista, pudo unificar con facilidad estos vastos dominios del saber. Al final de sus días fue venerado por matemáticos de todo el mundo.

Recibió diferentes distinciones, como la Medalla Real en 1859, Medalla Copley en 1882 y Medalla de Morgan en 1884.

Fue miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias, miembro de la Real Society de Londres desde 1852 y Oficial de la Legión de Honor. Recibió títulos honoríficos de las universidades de Cambridge, Oxford, Edimburgo, Dublín, Gotinga, Heidelberg, Leyden y Bolonia. Además un cráter de la luna lleva su nombre.

Después de una larga agonía, murió a los 73 años en su casa, Garden House, Cambridge. Dejó a su esposa, Susan Moline (1821-1923) y sus dos hijos Mary Cayley Moline (1867-1950) y Henry Cayley Moline (1870-1949). Falleció el 26 de enero de 1895 y fue enterrado el 2 de febrero en el cementerio de Mill Road, Cambridge.

Acompañan a Arthur Cayley en ese caminar a la eternidad los matemáticos Ludwig Schlaf (1819-1895) y Franz Ernst Newmann (1798-1895). También siguen el camino de Dante, José Martí (!853-1895), Friedrich Engels (1820-1895), Louis Pasteur (1822-1895), Meijer de Haan (1852-1895) y el escritor colombiano Jorge Isaacs(1837-1895).